dx%2B(x%5E2-x%5E3)dy%3D0.jpeg "(1+4xy-4x^2y)dx+(x^2-x^3)dy=0")
Résolution de l'équation différentielle (1+4xy-4x²y)dx + (x²-x³)dy = 0
Introduction
Dans ce document, nous allons résoudre l'équation différentielle suivante :
(1+4xy-4x²y)dx + (x²-x³)dy = 0
Cette équation est une équation différentielle exacte, ce qui signifie qu'il existe une fonction potentielle dont la différentielle totale est égale au côté gauche de l'équation.
Méthode de résolution
- Vérification de l'exactitude:
Pour vérifier si l'équation est exacte, nous devons nous assurer que :
∂M/∂y = ∂N/∂x
où M = (1+4xy-4x²y) et N = (x²-x³)
Calculons les dérivées partielles :
∂M/∂y = 4x - 4x² ∂N/∂x = 2x - 3x²
On constate que ∂M/∂y = ∂N/∂x, donc l'équation est exacte.
- Recherche de la fonction potentielle:
Il existe une fonction potentielle φ(x, y) telle que :
dφ = Mdx + Ndy
Pour trouver φ, nous intégrons M par rapport à x, en considérant y comme une constante :
φ(x, y) = ∫(1+4xy-4x²y)dx = x + 2x²y - (4/3)x³y + C(y)
où C(y) est une fonction arbitraire de y.
- Détermination de la fonction arbitraire C(y):
Pour trouver C(y), nous dérivons φ(x, y) par rapport à y et l'égalons à N :
∂φ/∂y = 2x² - (4/3)x³ + C'(y) = x² - x³
Par conséquent, C'(y) = -x² + (1/3)x³. En intégrant par rapport à y, on obtient :
C(y) = -x²y + (1/3)x³y + K
où K est une constante d'intégration.
- Solution générale:
La solution générale de l'équation différentielle est donnée par :
φ(x, y) = C
où C est une constante arbitraire. En substituant la valeur de φ, on obtient :
x + 2x²y - (4/3)x³y - x²y + (1/3)x³y + K = C
En simplifiant, on obtient la solution générale :
x + x²y - x³y = C - K
Conclusion
Nous avons résolu l'équation différentielle (1+4xy-4x²y)dx + (x²-x³)dy = 0 en utilisant la méthode des équations différentielles exactes. La solution générale de cette équation est x + x²y - x³y = C - K.