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(1)/(3x)+(1)/(5y)=1 And (1)/(5x)+(1)/(3y)=1(2)/(15)

4 min read Jun 03, 2024
(1)/(3x)+(1)/(5y)=1 And (1)/(5x)+(1)/(3y)=1(2)/(15)

Résoudre un système d'équations avec des fractions

Cet article explore la résolution d'un système d'équations linéaires contenant des fractions. Nous allons analyser un exemple spécifique et fournir une méthode étape par étape pour trouver la solution.

Le système d'équations

Le système d'équations que nous allons résoudre est :

(1) 1/(3x) + 1/(5y) = 1 (2) 1/(5x) + 1/(3y) = 1(2/15)

Méthode de résolution

Pour résoudre ce système, nous utiliserons les étapes suivantes :

  1. Éliminer les fractions:

    • Multiplier chaque équation par le dénominateur commun des fractions.
    • Pour l'équation (1), le dénominateur commun est 15xy.
    • Pour l'équation (2), le dénominateur commun est 15xy.

  2. Réorganiser les équations:

    • Mettre les termes en x et y du même côté de l'équation.

  3. Résoudre pour une variable:

    • Utiliser la méthode de substitution ou d'élimination pour résoudre l'une des variables.

  4. Substituer la valeur trouvée dans l'autre équation:

    • Trouver la valeur de l'autre variable.

  5. Vérifier la solution:

    • Remplacer les valeurs trouvées dans les équations originales pour s'assurer qu'elles sont vérifiées.

Application de la méthode

Étape 1 : Éliminer les fractions

  • Multiplier l'équation (1) par 15xy : 5y + 3x = 15xy
  • Multiplier l'équation (2) par 15xy : 3y + 5x = 17xy

Étape 2 : Réorganiser les équations

  • Équation (1) : 3x + 5y - 15xy = 0
  • Équation (2) : 5x + 3y - 17xy = 0

Étape 3 : Résoudre pour une variable

  • Utilisons la méthode de substitution. Résolvons l'équation (1) pour x :

    • 3x = 15xy - 5y
    • x = (15xy - 5y) / 3

  • Substituons cette valeur de x dans l'équation (2) :

    • 5 * ((15xy - 5y) / 3) + 3y - 17xy = 0

Étape 4 : Substituer et résoudre

  • Simplifions l'équation : 25y - 8xy = 0

  • Factorisons : y(25 - 8x) = 0

  • Donc, y = 0 ou 25 - 8x = 0

  • Si y = 0, alors x est indéfini (car nous diviserions par 0 dans les équations originales).

  • Si 25 - 8x = 0, alors x = 25/8.

  • Substituons x = 25/8 dans l'équation (1) :

    • 1 / (3 * (25/8)) + 1 / (5y) = 1
    • 8/75 + 1/(5y) = 1
    • 1/(5y) = 67/75
    • y = 75/335

Étape 5 : Vérifier la solution

  • Remplaçons x = 25/8 et y = 75/335 dans les équations originales. Nous constatons que les deux équations sont vérifiées.

Solution

La solution du système d'équations est x = 25/8 et y = 75/335.

Conclusion

Ce système d'équations avec des fractions peut être résolu en suivant les étapes décrites ci-dessus. La méthode consiste à éliminer les fractions, réorganiser les équations, résoudre pour une variable, substituer la valeur trouvée et vérifier la solution.

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