x(1-1%2F9)x(1-1%2F16)x(1-1%2F25)x(1-1%2F36).jpeg "(1-1/4)x(1-1/9)x(1-1/16)x(1-1/25)x(1-1/36)")
Décryptage d'une multiplication particulière : (1-1/4)x(1-1/9)x(1-1/16)x(1-1/25)x(1-1/36)
Cet article se penche sur la multiplication de fractions particulière suivante : (1-1/4)x(1-1/9)x(1-1/16)x(1-1/25)x(1-1/36). Nous allons analyser cette expression et découvrir une simplification astucieuse qui révèle un résultat surprenant.
Simplification et découverte du schéma
En premier lieu, remarquons que chaque terme de la multiplication est de la forme (1 - 1/n²), où n est un entier naturel. En effectuant les soustractions, nous obtenons :
- (1 - 1/4) = (4/4 - 1/4) = 3/4
- (1 - 1/9) = (9/9 - 1/9) = 8/9
- (1 - 1/16) = (16/16 - 1/16) = 15/16
- (1 - 1/25) = (25/25 - 1/25) = 24/25
- (1 - 1/36) = (36/36 - 1/36) = 35/36
En examinant les résultats, nous constatons un schéma intéressant :
- Le numérateur de chaque fraction est égal à (n²-1)
- Le dénominateur de chaque fraction est égal à n²
Application du schéma et résultat final
En appliquant ce schéma, notre multiplication devient :
(3/4) x (8/9) x (15/16) x (24/25) x (35/36)
Observons que de nombreux termes se simplifient :
- 3 et 9, 8 et 16, 15 et 25, 24 et 36, etc.
Après simplifications, il ne reste que :
(1 x 2 x 5 x 7) / (2 x 3 x 4 x 6)
En simplifiant encore, on arrive à :
(5 x 7) / (3 x 4 x 6) = 35/72
Conclusion
La multiplication (1-1/4)x(1-1/9)x(1-1/16)x(1-1/25)x(1-1/36) se simplifie remarquablement et donne comme résultat 35/72. L'analyse de chaque terme et la découverte du schéma (n²-1)/n² ont permis une simplification efficace et une détermination du résultat final.