%5E-2-expansion.jpeg "(1-2x)^-2 Expansion")
Développer l'expression (1-2x)^-2
Le développement de l'expression (1-2x)^-2 est un cas particulier du développement d'une puissance négative d'une expression binomiale. Pour ce faire, nous utiliserons la formule du binôme de Newton.
La Formule du Binôme de Newton
La formule du binôme de Newton permet de développer une puissance entière positive d'une expression binomiale de la forme (a + b)^n. Elle s'exprime ainsi :
(a + b)^n = Σ(k=0 à n) (nCk) * a^(n-k) * b^k
Où :
- nCk représente le coefficient binomial, calculé par la formule nCk = n! / (k! * (n-k)!).
- Σ représente la somme de tous les termes de k = 0 à n.
Développer (1-2x)^-2
Dans notre cas, a = 1, b = -2x, et n = -2. Cependant, la formule du binôme de Newton est définie uniquement pour des valeurs entières positives de n. Pour contourner ce problème, on utilise l'inverse de l'expression :
(1 - 2x)^-2 = 1 / (1 - 2x)^2
Maintenant, on peut appliquer la formule du binôme de Newton à (1 - 2x)^2:
(1 - 2x)^2 = Σ(k=0 à 2) (2Ck) * 1^(2-k) * (-2x)^k
En développant :
(1 - 2x)^2 = (2C0) * 1^2 * (-2x)^0 + (2C1) * 1^1 * (-2x)^1 + (2C2) * 1^0 * (-2x)^2
(1 - 2x)^2 = 1 + 4x + 4x^2
Finalement, on inverse pour obtenir le développement de (1 - 2x)^-2 :
(1 - 2x)^-2 = 1 / (1 + 4x + 4x^2)
Conclusion
Le développement de l'expression (1 - 2x)^-2 s'obtient en utilisant la formule du binôme de Newton en inversant l'expression puis en appliquant la formule à la puissance positive. La formule du binôme de Newton est un outil puissant pour développer des expressions de la forme (a + b)^n, et elle peut être appliquée à diverses situations en mathématiques et en physique.