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(2a-1)x+3y-5=0 3x+(b-1)y-2=0

5 min read Jun 01, 2024
(2a-1)x+3y-5=0 3x+(b-1)y-2=0

Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues

Cet article se concentre sur la résolution d'un système d'équations linéaires à deux inconnues, en utilisant les équations suivantes comme exemple :

(2a-1)x + 3y - 5 = 0 (3)x + (b-1)y - 2 = 0

Comprendre les concepts

Un système d'équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations linéaires qui partagent les mêmes variables, dans ce cas x et y. La résolution de ce système consiste à trouver les valeurs de x et y qui satisfont simultanément les deux équations.

Méthodes de résolution

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations linéaires, les plus courantes étant:

  • La méthode de substitution:

    • Résoudre une des équations pour une variable (par exemple, résoudre pour x dans la première équation).
    • Substituer l'expression obtenue dans la deuxième équation.
    • Résoudre l'équation résultante pour la variable restante.
    • Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de la première variable.

  • La méthode d'élimination:

    • Multiplier les équations par des constantes afin que les coefficients d'une des variables soient opposés.
    • Additionner les deux équations pour éliminer la variable choisie.
    • Résoudre l'équation résultante pour la variable restante.
    • Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de la première variable.

Exemple de résolution

Prenons l'exemple des équations données :

(2a-1)x + 3y - 5 = 0 (3)x + (b-1)y - 2 = 0

Pour résoudre ce système, nous pouvons utiliser la méthode de substitution.

  1. Résoudre la première équation pour x: (2a-1)x = 5 - 3y x = (5 - 3y) / (2a-1)

  2. Substituer l'expression de x dans la deuxième équation: 3 * [(5 - 3y) / (2a-1)] + (b-1)y - 2 = 0

  3. Simplifier l'équation et résoudre pour y: 15 - 9y + (b-1)(2a-1)y - 2(2a-1) = 0 11 + (2ab - b - 2a + 1)y = 4a - 2 y = (4a - 2 - 11) / (2ab - b - 2a + 1) y = (4a - 13) / (2ab - b - 2a + 1)

  4. Substituer la valeur de y dans l'expression de x: x = (5 - 3 * [(4a - 13) / (2ab - b - 2a + 1)]) / (2a-1) x = (10ab - 5b - 10a + 5 - 12a + 39) / [(2a-1)(2ab - b - 2a + 1)] x = (10ab - 5b - 22a + 44) / [(2a-1)(2ab - b - 2a + 1)]

Conclusion

En suivant les étapes ci-dessus, nous avons trouvé les solutions pour x et y en fonction des paramètres a et b. Ces solutions nous indiquent les valeurs de x et y qui satisfont simultanément les deux équations. La résolution de systèmes d'équations linéaires est un concept fondamental en algèbre et trouve des applications dans de nombreux domaines, tels que la modélisation mathématique, la physique et l'économie.

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