x%2B3y-2%3D0-(k-2%2B1)x%2B(k-2)y-5%3D0.jpeg "(3k+1)x+3y-2=0 (k 2+1)x+(k-2)y-5=0")
Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues
Cet article traite de la résolution d'un système d'équations linéaires à deux inconnues, en utilisant la méthode de substitution. Nous allons analyser le système suivant :
(3k + 1)x + 3y - 2 = 0
(k² + 1)x + (k - 2)y - 5 = 0
1. Résoudre une équation pour une variable
Commençons par résoudre l'une des équations pour une variable. Prenons la première équation :
(3k + 1)x + 3y - 2 = 0
En isolant x, nous obtenons :
x = (2 - 3y) / (3k + 1)
2. Substituer la valeur de x dans la deuxième équation
Maintenant, nous substituons la valeur de x trouvée dans la première équation dans la deuxième équation :
(k² + 1)[(2 - 3y) / (3k + 1)] + (k - 2)y - 5 = 0
3. Simplifier l'équation
Simplifions l'équation en multipliant les deux côtés par (3k + 1) et en développant :
(k² + 1)(2 - 3y) + (k - 2)y(3k + 1) - 5(3k + 1) = 0
En effectuant les multiplications, nous obtenons :
2k² + 2 - 3k²y - 3y + 3k²y - 6ky + ky - 2y - 15k - 5 = 0
En regroupant les termes similaires, nous obtenons :
-2k² - 7ky - 5y - 15k - 3 = 0
4. Résoudre l'équation pour y
Nous avons maintenant une équation à une seule variable, y. Résolvons pour y :
y = (-2k² - 15k - 3) / (7k + 5)
5. Substituer la valeur de y dans l'une des équations initiales
Pour trouver la valeur de x, nous pouvons substituer la valeur de y trouvée dans l'une des équations initiales. Prenons la première équation :
(3k + 1)x + 3[(-2k² - 15k - 3) / (7k + 5)] - 2 = 0
En résolvant pour x, nous obtenons :
x = [2(7k + 5) + 3(-2k² - 15k - 3)] / [(3k + 1)(7k + 5)]
x = (-6k² - 31k + 1) / [(3k + 1)(7k + 5)]
Conclusion
Nous avons résolu le système d'équations linéaires à deux inconnues et trouvé les solutions pour x et y :
x = (-6k² - 31k + 1) / [(3k + 1)(7k + 5)]
y = (-2k² - 15k - 3) / (7k + 5)
Il est important de noter que ces solutions sont valides tant que (3k + 1) ≠ 0 et (7k + 5) ≠ 0. Ces conditions garantissent que les dénominateurs des solutions ne sont pas nuls.