dx-(2x%5E2y-xy%5E2)dy%3D0.jpeg "(3xy^2-y^3)dx-(2x^2y-xy^2)dy=0")
Résoudre l'équation différentielle : (3xy² - y³)dx - (2x²y - xy²)dy = 0
Introduction
Cette équation différentielle est une équation différentielle exacte, ce qui signifie qu'elle peut être écrite sous la forme :
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
où ∂M/∂y = ∂N/∂x.
Dans notre cas, nous avons :
- M(x, y) = 3xy² - y³
- N(x, y) = -2x²y + xy²
Calculons les dérivées partielles :
- ∂M/∂y = 6xy - 3y²
- ∂N/∂x = -4xy + y²
On constate que ∂M/∂y = ∂N/∂x, donc l'équation est bien exacte.
Résolution
Pour résoudre l'équation, nous devons trouver une fonction potentielle φ(x, y) telle que :
- ∂φ/∂x = M(x, y)
- ∂φ/∂y = N(x, y)
Intégrons la première équation par rapport à x :
φ(x, y) = ∫(3xy² - y³) dx = (3/2)x²y² - xy³ + g(y)
où g(y) est une fonction arbitraire de y.
Différencions cette expression par rapport à y :
∂φ/∂y = 3x²y - 3xy² + g'(y)
En comparant avec N(x, y), on trouve que g'(y) = 0, donc g(y) est une constante.
Par conséquent, la solution générale de l'équation différentielle est :
(3/2)x²y² - xy³ + C = 0
où C est une constante arbitraire.
Conclusion
Nous avons résolu l'équation différentielle exacte (3xy² - y³)dx - (2x²y - xy²)dy = 0 en trouvant une fonction potentielle et en utilisant la méthode d'intégration. La solution générale est (3/2)x²y² - xy³ + C = 0.
Mots clés : Equation différentielle exacte, fonction potentielle, solution générale, résolution, (3xy² - y³)dx - (2x²y - xy²)dy = 0.