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Le développement de (a + b + c)³ : Une exploration mathématique
Le développement de l'expression (a + b + c)³ est un processus mathématique qui permet de la transformer en une somme de termes, chacun étant le produit de puissances de a, b et c. Ce développement est utile dans de nombreux domaines, notamment l'algèbre, la géométrie et la physique.
Le principe du développement
Le développement de (a + b + c)³ s'appuie sur la propriété distributive de la multiplication. Cette propriété nous permet de multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse, et ainsi de suite.
En pratique, pour développer (a + b + c)³, nous devons multiplier (a + b + c) par lui-même trois fois :
(a + b + c)³ = (a + b + c) * (a + b + c) * (a + b + c)
Les étapes du développement
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Développer la première multiplication: (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c²
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Simplifier en regroupant les termes similaires: a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c²
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Multiplier le résultat par (a + b + c) : (a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c²) * (a + b + c)
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Développer la multiplication: a³ + 2a²b + 2a²c + ab² + 2abc + ac² + 2ab² + 4abc + 2ac² + b³ + 2b²c + bc² + 2abc + 4abc + 2bc² + c³
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Simplifier en regroupant les termes similaires: a³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 6abc + 3ac² + b³ + 3b²c + 3bc² + c³
Conclusion
Le développement de (a + b + c)³ nous donne une expression équivalente qui est la somme de 10 termes. Cette expression peut être simplifiée en regroupant les termes similaires. Le développement de (a + b + c)³ est un processus mathématique utile dans de nombreux domaines, et sa compréhension est essentielle pour résoudre des problèmes mathématiques complexes.