%5E3%2B(b-c)%5E3%2B(c-a)%5E3%2F9(a-b)(b-c)(c-a).jpeg "(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3/9(a-b)(b-c)(c-a)")
La factorisation de l'expression (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ / 9(a-b)(b-c)(c-a)
Introduction
L'expression (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ / 9(a-b)(b-c)(c-a) est un exemple intéressant de simplification d'une expression algébrique complexe. En utilisant des techniques de factorisation et des identités remarquables, nous pouvons réduire cette expression à une forme plus simple.
Décomposition de l'expression
Commençons par examiner le numérateur de l'expression : (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³. Nous pouvons utiliser l'identité remarquable suivante :
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)
En appliquant cette identité à notre expression, nous obtenons :
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = [(a-b) + (b-c) + (c-a)][(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² - (a-b)(b-c) - (a-b)(c-a) - (b-c)(c-a)]
Nous pouvons simplifier le premier facteur :
(a-b) + (b-c) + (c-a) = 0
Par conséquent, le numérateur est égal à zéro :
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 0
Simplification de l'expression
Maintenant que nous savons que le numérateur est égal à zéro, nous pouvons simplifier l'expression complète :
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ / 9(a-b)(b-c)(c-a) = 0 / 9(a-b)(b-c)(c-a) = 0
Conclusion
En utilisant des techniques de factorisation et des identités remarquables, nous avons démontré que l'expression (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ / 9(a-b)(b-c)(c-a) est égale à zéro. Cette simplification met en évidence la puissance des outils mathématiques pour manipuler des expressions complexes et les réduire à des formes plus simples.