(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3/9(a-b)(b-c)(c-a)

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Jun 01, 2024

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Simplifier l'expression (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³/9(a-b)(b-c)(c-a)

Introduction

Cette expression algébrique, bien que complexe au premier abord, peut être simplifiée considérablement en utilisant des identités algébriques et des manipulations mathématiques. Le but de cet article est de vous guider pas à pas dans la simplification de cette expression.

Développement étape par étape

1. Identité algébrique : Commençons par l'identité algébrique suivante :

   • (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

2. Application de l'identité: Appliquons cette identité à chaque terme du numérateur de l'expression. Par exemple, pour (a-b)³ :

   • (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

3. Remplacement et simplification: Remplaçons chaque terme du numérateur par son développement et simplifions:

   • (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = (a³ - 3a²b + 3ab² - b³) + (b³ - 3b²c + 3bc² - c³) + (c³ - 3c²a + 3ca² - a³)

4. Annulation des termes: On observe que les termes a³, b³, et c³ s'annulent. Il nous reste:

   • -3a²b + 3ab² - 3b²c + 3bc² - 3c²a + 3ca²

5. Factorisation: Factorisons par 3 et regroupons les termes :

   • 3(-a²b + ab² - b²c + bc² - c²a + ca²)

6. Factorisation par regroupement: Factorisons chaque paire de termes en regroupant :

   • 3[(-a²b + ca²) + (ab² - b²c) + (bc² - c²a)]
   • 3[a(-ab + c²) + b(ab - bc) + c(bc - ac)]

7. Factorisation finale: Factorisons chaque groupe par le facteur commun:

   • 3[a(-ab + c²) + b(a-c)b + c(-ac + bc)]
   • 3[(-ab + c²)(a + b + c)]

8. Simplification de l'expression complète: Remplaçons le numérateur simplifié par l'expression factorisée dans l'expression originale:

   • [3(-ab + c²)(a + b + c)] / [9(a-b)(b-c)(c-a)]

9. Simplification finale: Simplifions par 3 et remarquons que (a-b)(b-c)(c-a) est l'opposé de (-ab + c²)(a + b + c).

   • (-1) * (a + b + c) / 3(a-b)(b-c)(c-a)

Conclusion

L'expression initiale (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³/9(a-b)(b-c)(c-a) se simplifie en (-1)(a + b + c) / 3(a-b)(b-c)(c-a).

Points clés à retenir

• L'utilisation d'identités algébriques est essentielle pour simplifier des expressions complexes.
• La factorisation est une technique clé pour simplifier des expressions et identifier des facteurs communs.
• L'expression simplifiée est l'opposé de la somme (a + b + c) divisée par le triple du produit des différences (a-b)(b-c)(c-a).