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Développement de l'identité remarquable (ac + bd)²
Introduction
En mathématiques, l'identité remarquable (ac + bd)² est une formule qui permet de développer le carré d'une somme de deux produits. Cette formule est très utile dans de nombreux contextes, notamment la simplification d'expressions algébriques et la résolution d'équations.
Démonstration de l'identité
L'identité remarquable (ac + bd)² se développe de la manière suivante:
(ac + bd)² = (ac + bd) * (ac + bd)
En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on obtient:
(ac + bd)² = ac * (ac + bd) + bd * (ac + bd)
En développant les produits, on trouve:
(ac + bd)² = a²c² + acbd + acbd + b²d²
En regroupant les termes similaires, on obtient:
**(ac + bd)² = ** a²c² + 2acbd + b²d²
Application de l'identité
L'identité remarquable (ac + bd)² peut être utilisée dans de nombreux contextes, notamment:
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Simplification d'expressions algébriques: Par exemple, pour simplifier l'expression (2x + 3y)², on peut utiliser l'identité remarquable:
(2x + 3y)² = (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
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Résolution d'équations: Par exemple, pour résoudre l'équation (x + 2)² = 9, on peut utiliser l'identité remarquable:
(x + 2)² = 9 x² + 4x + 4 = 9 x² + 4x - 5 = 0
Cette équation peut ensuite être résolue par factorisation ou par la formule quadratique.
Conclusion
L'identité remarquable (ac + bd)² est une formule importante en mathématiques qui permet de développer le carré d'une somme de deux produits. Elle est utile dans de nombreux contextes, notamment la simplification d'expressions algébriques et la résolution d'équations. La compréhension et la maîtrise de cette identité est essentielle pour réussir dans les études mathématiques.