x-y%3D5-(k%2B1)x%2B(1-k)y%3D(3k%2B1).jpeg "(k-1)x-y=5 (k+1)x+(1-k)y=(3k+1)")
Résoudre le système d'équations linéaires : (k-1)x-y=5 et (k+1)x+(1-k)y=(3k+1)
Ce document traite de la résolution du système d'équations linéaires suivant :
(k-1)x - y = 5
(k+1)x + (1-k)y = (3k+1)
où k est une constante. Nous allons utiliser la méthode de substitution pour trouver les solutions de ce système.
Étape 1 : Résoudre une équation pour une variable
Commençons par résoudre la première équation pour x:
(k-1)x - y = 5
(k-1)x = y + 5
x = (y + 5) / (k-1)
Étape 2 : Substituer la valeur de x dans la deuxième équation
Maintenant, nous substituons la valeur de x que nous avons trouvée dans la deuxième équation :
(k+1)x + (1-k)y = (3k+1)
(k+1) * [(y + 5) / (k-1)] + (1-k)y = (3k+1)
Étape 3 : Résoudre pour y
Simplifions l'équation et résolvons pour y:
(k+1)(y+5) + (1-k)(k-1)y = (3k+1)(k-1)
(ky + 5k + y + 5) + (y - ky - k + k^2)y = 3k^2 - 2k - 1
(k^2 + 1)y + (5k + 5) = 3k^2 - 2k - 1
(k^2 + 1)y = 3k^2 - 2k - 1 - (5k + 5)
(k^2 + 1)y = 3k^2 - 7k - 6
y = (3k^2 - 7k - 6) / (k^2 + 1)
Étape 4 : Substituer la valeur de y dans la première équation pour trouver x
Maintenant que nous avons la valeur de y, nous pouvons la substituer dans l'équation que nous avons résolue pour x à l'étape 1:
x = (y + 5) / (k-1)
x = [(3k^2 - 7k - 6) / (k^2 + 1) + 5] / (k-1)
x = [(3k^2 - 7k - 6 + 5k^2 + 5) / (k^2 + 1)] / (k-1)
x = (8k^2 - 7k - 1) / [(k^2 + 1)(k-1)]
Solution du système d'équations
Par conséquent, la solution du système d'équations est :
x = (8k^2 - 7k - 1) / [(k^2 + 1)(k-1)]
y = (3k^2 - 7k - 6) / (k^2 + 1)
Conclusion
Nous avons trouvé les solutions pour x et y en fonction de k en utilisant la méthode de substitution. Il est important de noter que ces solutions sont valides tant que k n'est pas égal à 1, car cela rendrait le dénominateur de x nul.