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(x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0

4 min read Jun 01, 2024
(x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0

Résolution de l'équation : (x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0

Ce document présente la résolution étape par étape de l'équation : (x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0.

Simplification de l'équation

Commençons par simplifier l'équation en factorisant le dénominateur et en regroupant les termes similaires :

(x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0

(x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/(x+2)(x-2) = 0

Substitution

Pour simplifier l'équation, nous allons utiliser la substitution suivante :

  • a = (x+3)/(x-2)
  • b = (x-3)/(x+2)

Avec cette substitution, l'équation devient :

a^2 + 6b^2 - 7(x^2-9)/(x+2)(x-2) = 0

Résolution de l'équation simplifiée

Maintenant, nous pouvons résoudre l'équation simplifiée :

  1. a^2 + 6b^2 = 7(x^2-9)/(x+2)(x-2)

  2. a^2 + 6b^2 = 7(x+3)(x-3)/(x+2)(x-2)

  3. a^2 + 6b^2 = 7ab

  4. a^2 - 7ab + 6b^2 = 0

  5. (a-6b)(a-b) = 0

Donc, nous avons deux solutions possibles :

  • a = 6b
  • a = b

Remplacement de a et b

Maintenant, nous devons remplacer a et b par leurs expressions originales :

  • (x+3)/(x-2) = 6(x-3)/(x+2)
  • (x+3)/(x-2) = (x-3)/(x+2)

Résolution des équations

Résolvons les équations pour trouver les valeurs de x :

Pour (x+3)/(x-2) = 6(x-3)/(x+2) :

  1. (x+3)(x+2) = 6(x-3)(x-2)
  2. x^2 + 5x + 6 = 6x^2 - 30x + 36
  3. 5x^2 - 35x + 30 = 0
  4. x^2 - 7x + 6 = 0
  5. (x-6)(x-1) = 0

Donc, x = 6 ou x = 1.

Pour (x+3)/(x-2) = (x-3)/(x+2) :

  1. (x+3)(x+2) = (x-3)(x-2)
  2. x^2 + 5x + 6 = x^2 - 5x + 6
  3. 10x = 0

Donc, x = 0.

Solutions de l'équation

Les solutions de l'équation (x+3/x-2)^2+6(x-3/x+2)^2-7(x^2-9)/x^2-4=0 sont :

  • x = 6
  • x = 1
  • x = 0

Conclusion

Nous avons réussi à résoudre l'équation en utilisant des techniques de simplification, substitution et résolution d'équations. Les solutions trouvées sont x = 6, x = 1 et x = 0.

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