%2F(x%5E2%2B1).jpeg "(x^3-9)/(x^2+1)")
Décomposition en fractions partielles : (x^3 - 9) / (x^2 + 1)
Introduction
Dans ce tutoriel, nous allons explorer la décomposition en fractions partielles de l'expression rationnelle (x^3 - 9) / (x^2 + 1). Cette technique est largement utilisée en calcul intégral pour simplifier des intégrales complexes.
Décomposition en fractions partielles
Étape 1 : Vérifier le degré
Le degré du numérateur (3) est supérieur au degré du dénominateur (2). Par conséquent, nous devons d'abord effectuer une division longue.
Étape 2 : Division longue
x
x^2+1 | x^3 + 0x^2 - 9
-(x^3 + 0x^2 + x)
-----------------
-x - 9
Nous obtenons donc : (x^3 - 9) / (x^2 + 1) = x + (-x - 9) / (x^2 + 1)
Étape 3 : Décomposer la fraction restante
La fraction (-x - 9) / (x^2 + 1) peut être décomposée en deux fractions partielles :
(-x - 9) / (x^2 + 1) = A/(x^2 + 1) + Bx/(x^2 + 1)
où A et B sont des constantes.
Étape 4 : Résoudre pour A et B
Pour trouver A et B, nous multiplions les deux côtés de l'équation par (x^2 + 1) :
-x - 9 = A + Bx
En substituant x = 0, nous obtenons : -9 = A.
En substituant x = 1, nous obtenons : -10 = A + B.
En résolvant ce système d'équations, nous trouvons A = -9 et B = -1.
Étape 5 : Résultat final
Par conséquent, la décomposition en fractions partielles de (x^3 - 9) / (x^2 + 1) est :
(x^3 - 9) / (x^2 + 1) = x - 9/(x^2 + 1) - x/(x^2 + 1)
Conclusion
La décomposition en fractions partielles de (x^3 - 9) / (x^2 + 1) nous a permis de simplifier l'expression en une somme de fractions plus simples. Cette technique est très utile pour le calcul d'intégrales, car elle nous permet de décomposer des fonctions rationnelles en termes plus faciles à intégrer.