%5E8.jpeg "(x-1)^8")
Développer l'expression (x-1)^8
Le développement de l'expression (x-1)^8 peut sembler intimidant au premier abord, mais il peut être réalisé en utilisant le binôme de Newton.
Le binôme de Newton
Le binôme de Newton nous permet de développer une expression de la forme (a + b)^n en une somme de termes. La formule générale est la suivante :
(a + b)^n = Σ (n choose k) * a^(n-k) * b^k
où :
- n est l'exposant
- k prend des valeurs de 0 à n
- (n choose k) représente le coefficient binomial, calculé comme n! / (k! * (n-k)!).
Application au développement de (x-1)^8
Dans notre cas, a = x, b = -1 et n = 8. En utilisant le binôme de Newton, on obtient :
(x - 1)^8 = Σ (8 choose k) * x^(8-k) * (-1)^k
Développons l'expression pour chaque valeur de k de 0 à 8:
- k = 0: (8 choose 0) * x^8 * (-1)^0 = x^8
- k = 1: (8 choose 1) * x^7 * (-1)^1 = -8x^7
- k = 2: (8 choose 2) * x^6 * (-1)^2 = 28x^6
- k = 3: (8 choose 3) * x^5 * (-1)^3 = -56x^5
- k = 4: (8 choose 4) * x^4 * (-1)^4 = 70x^4
- k = 5: (8 choose 5) * x^3 * (-1)^5 = -56x^3
- k = 6: (8 choose 6) * x^2 * (-1)^6 = 28x^2
- k = 7: (8 choose 7) * x^1 * (-1)^7 = -8x
- k = 8: (8 choose 8) * x^0 * (-1)^8 = 1
Le résultat final
En rassemblant tous les termes, le développement complet de (x-1)^8 est :
(x-1)^8 = x^8 - 8x^7 + 28x^6 - 56x^5 + 70x^4 - 56x^3 + 28x^2 - 8x + 1
Ce résultat peut être obtenu à l'aide d'un calculateur ou en utilisant les propriétés du triangle de Pascal pour déterminer les coefficients binomiaux.