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(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)(x+1)-x^64

7 min read Jun 03, 2024
(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)(x+1)-x^64

Factorisation et Simplification d'une Expression Algèbrique Complexe

Introduction

Dans ce document, nous allons étudier la factorisation et la simplification de l'expression algèbrique complexe suivante :

(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)(x+1) - x^64

Cette expression peut paraître intimidante à première vue, mais en utilisant des techniques de factorisation astucieuses, nous allons démontrer qu'elle peut être simplifiée de manière remarquable.

Stratégie de Factorisation

Notre approche consiste à utiliser la différence de carrés et la somme de cubes pour factoriser l'expression étape par étape.

Différence de carrés: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Somme de cubes: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

Développement pas à pas

  1. Regroupement des termes:

    • Remarquons que les premiers et derniers termes de l'expression ressemblent à une différence de carrés.
    • Nous pouvons regrouper les termes comme suit :

    (x-1)(x+1) [(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)] - x^64

  2. Application de la différence de carrés:

    • Appliquons la différence de carrés au premier groupe de termes :

    (x^2 - 1)[(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)] - x^64

  3. Répétition de la factorisation:

    • Observons que les termes restants dans les crochets suivent le même schéma de la différence de carrés.
    • Continuons à factoriser les termes suivants :

    (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^16 - 1)(x^16+1)(x^32+1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^32 - 1)(x^32+1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^64 - 1) - x^64

  4. Finalisation de la factorisation:

    • Appliquons une dernière fois la différence de carrés et simplifions :

    (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^64 - 1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^32 + 1)(x^32 - 1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^16 - 1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1)(x^8 - 1) - x^64 (x^2 - 1)(x^4 - 1)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1)(x^4 + 1)(x^4 - 1) - x^64

    En simplifiant et en observant que (x^4 - 1) apparait deux fois, nous obtenons :

    (x^2 - 1)(x^4 - 1)^2 (x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - x^64

  5. Substitution et Simplification:

    • Remarquons que (x^2 - 1)^2 est un carré parfait.
    • Remplaçons (x^2 - 1) par son équivalent :

    (x^4 - 2x^2 + 1)(x^4 - 1)^2 (x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - x^64

    • Développons le premier terme :

    (x^8 - 2x^6 + x^4)(x^4 - 1)^2 (x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - x^64

    • Factorisons par (x^4 - 1)^2:

    (x^4 - 1)^2 [(x^8 - 2x^6 + x^4)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - x^64 ]

    • Observons que x^64 est un terme commun dans les deux expressions.
    • Factorisons par x^64 :

    (x^4 - 1)^2 [x^64 ((x^8 - 2x^6 + x^4)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - 1)]

Conclusion

Finalement, après une série de factorisations et de simplifications, nous obtenons la forme factorisée et simplifiée de l'expression initiale :

(x^4 - 1)^2 [x^64 ((x^8 - 2x^6 + x^4)(x^32 + 1)(x^16 + 1)(x^8 + 1) - 1)]

Ce résultat démontre l'importance des techniques de factorisation dans la simplification d'expressions algébriques complexes. En appliquant systématiquement des méthodes comme la différence de carrés et la somme de cubes, nous avons réussi à décomposer l'expression initiale en une forme plus simple et plus facile à manipuler.

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