(x-b)(x-c)(x-d)(x-e).jpeg "(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)")
Développement de l'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)
L'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) représente le produit de cinq facteurs linéaires. Cette expression peut être développée de manière systématique pour obtenir un polynôme de degré 5.
Développement pas à pas
-
Commencer par les deux premiers facteurs: (x-a)(x-b) = x² - (a+b)x + ab
-
Multiplier le résultat par le troisième facteur: (x² - (a+b)x + ab)(x-c) = x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc
-
Multiplier le résultat par le quatrième facteur: (x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc)(x-d) = x⁴ - (a+b+c+d)x³ + (ab+ac+bc+ad+bd+cd)x² - (abc+abd+acd+bcd)x + abcd
-
Multiplier le résultat par le cinquième facteur: (x⁴ - (a+b+c+d)x³ + (ab+ac+bc+ad+bd+cd)x² - (abc+abd+acd+bcd)x + abcd)(x-e) = x⁵ - (a+b+c+d+e)x⁴ + (ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)x³ - (abc+abd+acd+bcd+abe+ace+ade+bce+bde+cde)x² + (abcd+abce+abde+acde+bcde)x - abcde
Observation
On remarque que:
- Le coefficient du terme de degré 5 est toujours 1.
- Le coefficient du terme de degré 4 est la somme des cinq constantes a, b, c, d, et e.
- Le coefficient du terme de degré 3 est la somme de tous les produits possibles de deux constantes parmi les cinq.
- Le coefficient du terme de degré 2 est la somme de tous les produits possibles de trois constantes parmi les cinq.
- Le coefficient du terme de degré 1 est la somme de tous les produits possibles de quatre constantes parmi les cinq.
- Le terme constant est le produit de toutes les cinq constantes.
Applications
Le développement de l'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) est utile dans de nombreuses applications, notamment :
- La factorisation des polynômes de degré 5.
- La résolution des équations polynomiales de degré 5.
- L'étude des fonctions polynomiales de degré 5.
En résumé, l'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) est un outil puissant pour la manipulation des polynômes de degré 5. Son développement systématique permet de comprendre les propriétés de ces polynômes et de les utiliser dans diverses applications.