(x-b)(x-c)(x-d)-expand.jpeg "(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) Expand")
Développer l'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
Introduction
L'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) est un produit de quatre binômes. Développer cette expression signifie la transformer en une somme de termes. Ce processus est important en algèbre et trouve des applications dans divers domaines comme la résolution d'équations, la factorisation et l'analyse de polynômes.
Développer l'expression étape par étape
Pour développer (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), nous allons multiplier les binômes deux à deux, puis simplifier le résultat.
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Multiplier les deux premiers binômes:
(x-a)(x-b) = x² - bx - ax + ab = x² - (a+b)x + ab
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Multiplier le résultat par le troisième binôme:
(x² - (a+b)x + ab)(x-c) = x³ - (a+b)x² + abx - cx² + (a+b)cx - abc = x³ - (a+b+c)x² + (ab + ac + bc)x - abc
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Multiplier le résultat par le quatrième binôme:
(x³ - (a+b+c)x² + (ab + ac + bc)x - abc)(x-d) = x⁴ - (a+b+c)x³ + (ab + ac + bc)x² - abcx - dx³ + (a+b+c)dx² - (ab + ac + bc)dx + abcd
= x⁴ - (a+b+c+d)x³ + (ab + ac + bc + ad + bd + cd)x² - (abc + abd + acd + bcd)x + abcd
Conclusion
En conclusion, le développement de l'expression (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) nous donne:
x⁴ - (a+b+c+d)x³ + (ab + ac + bc + ad + bd + cd)x² - (abc + abd + acd + bcd)x + abcd
Ce résultat peut être utilisé pour résoudre des équations, factoriser des polynômes, et analyser leurs propriétés.
Remarque: Ce développement peut être généralisé à un produit de n binômes. La formule générale pour le développement de (x-a₁)(x-a₂)...(x-aₙ) est donnée par le théorème de Viète.