(x-a)(x-b) 0 Inequality

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Jun 01, 2024

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Résoudre l'inégalité (x-a)(x-b) > 0

Cet article traite de la résolution de l'inégalité (x-a)(x-b) > 0, où a et b sont des nombres réels. Ce type d'inégalité est souvent rencontré en algèbre et en analyse, et la compréhension de sa résolution est essentielle pour de nombreux domaines mathématiques.

Comprendre le concept

L'inégalité (x-a)(x-b) > 0 signifie que le produit de deux facteurs, (x-a) et (x-b), doit être positif. Pour que cela soit vrai, l'un des deux scénarios suivants doit se produire :

• Les deux facteurs sont positifs : (x-a) > 0 et (x-b) > 0.
• Les deux facteurs sont négatifs : (x-a) < 0 et (x-b) < 0.

Résoudre l'inégalité

Pour résoudre l'inégalité, nous devons trouver les valeurs de x qui satisfont à l'un des scénarios ci-dessus.

1. Trouver les racines: Les racines de l'inégalité sont les valeurs de x qui rendent l'expression (x-a)(x-b) égale à zéro. Ces racines sont x = a et x = b.

2. Construire un tableau de signes: Nous allons construire un tableau de signes pour déterminer le signe de l'expression (x-a)(x-b) pour différentes valeurs de x.

   Intervalle	x-a	x-b	(x-a)(x-b)
   x < a	-	-	+
   a < x < b	+	-	-
   x > b	+	+	+

3. Interpréter le tableau de signes: Le tableau nous montre que l'expression (x-a)(x-b) est positive lorsque x < a ou x > b.

4. Solution de l'inégalité: La solution de l'inégalité (x-a)(x-b) > 0 est donc :

x < a ou x > b

Exemple

Résolvons l'inégalité (x-2)(x+1) > 0.

1. Racines: Les racines de l'inégalité sont x = 2 et x = -1.

2. Tableau de signes:

   Intervalle	x-2	x+1	(x-2)(x+1)
   x < -1	-	-	+
   -1 < x < 2	-	+	-
   x > 2	+	+	+

3. Solution: La solution de l'inégalité (x-2)(x+1) > 0 est :

x < -1 ou x > 2

Conclusion

En utilisant la méthode du tableau de signes, nous pouvons résoudre efficacement l'inégalité (x-a)(x-b) > 0. Cette méthode nous permet de comprendre le signe de l'expression pour différentes valeurs de x, ce qui nous conduit à la solution de l'inégalité. L'inégalité (x-a)(x-b) > 0 est un outil important en algèbre et en analyse, et sa compréhension permet de résoudre de nombreux problèmes mathématiques.