Le Problème du Sac à Dos 0/1 en Utilisant la Méthode Gourmande : Un Exemple Concret
Le problème du sac à dos 0/1 est un problème classique en optimisation combinatoire. Il consiste à trouver le meilleur ensemble d'objets à placer dans un sac à dos, étant donné que chaque objet a un poids et une valeur, et que le sac a une capacité limitée.
La méthode gourmande est une approche simple pour résoudre ce problème. Elle consiste à choisir à chaque étape l'objet avec la meilleure valeur par unité de poids jusqu'à ce que le sac soit plein.
Un Exemple Concret
Imaginons que vous avez un sac à dos avec une capacité de 10 kg et les objets suivants :
| Objet | Poids (kg) | Valeur (€) |
|---|---|---|
| A | 2 | 10 |
| B | 3 | 15 |
| C | 5 | 25 |
| D | 7 | 30 |
La méthode gourmande fonctionne de la manière suivante:
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Calculer la valeur par unité de poids pour chaque objet:
- A : 10 € / 2 kg = 5 € / kg
- B : 15 € / 3 kg = 5 € / kg
- C : 25 € / 5 kg = 5 € / kg
- D : 30 € / 7 kg = 4.28 € / kg
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Choisir l'objet avec la plus grande valeur par unité de poids :
- A, B et C ont la plus grande valeur par unité de poids (5 € / kg)
- On choisit l'objet A, car il a le plus petit poids.
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Ajouter l'objet au sac à dos et mettre à jour la capacité restante :
- Le sac à dos contient maintenant l'objet A (2 kg)
- La capacité restante est de 8 kg (10 kg - 2 kg).
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Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que le sac à dos soit plein :
- On choisit l'objet B (3 kg), car il a la plus grande valeur par unité de poids et peut tenir dans le sac à dos (8 kg).
- Le sac à dos contient maintenant les objets A et B (2 kg + 3 kg = 5 kg).
- La capacité restante est de 5 kg (10 kg - 5 kg).
- On choisit l'objet C (5 kg), car il a la plus grande valeur par unité de poids et peut tenir dans le sac à dos (5 kg).
- Le sac à dos est maintenant plein.
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La solution finale est :
- Objets choisis : A, B et C
- Valeur totale : 10 € + 15 € + 25 € = 50 €
Conclusion
La méthode gourmande est une approche simple et efficace pour résoudre le problème du sac à dos 0/1, mais elle ne garantit pas toujours la solution optimale. Dans certains cas, il peut être plus avantageux de choisir un objet avec une valeur par unité de poids moins élevée mais qui permet de maximiser la valeur totale du sac à dos.
Cependant, la méthode gourmande est une bonne solution pour des cas simples et peut servir de point de départ pour des solutions plus complexes.