La somme des inverses des produits de trois nombres consécutifs
Introduction
Dans le domaine des mathématiques, la manipulation des séries et des suites est un exercice fascinant. Parmi les nombreuses séquences qui attirent l'attention, on trouve la somme des inverses des produits de trois nombres consécutifs. Cette série s'écrit sous la forme :
1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ...
Ce texte explore cette série, son développement et sa valeur finale.
Décomposition de la série
La première étape pour comprendre cette série est de la décomposer en fractions plus simples. Chaque terme de la série peut être réécrit en utilisant la décomposition en fractions partielles. Par exemple, le premier terme 1/1x2x3 peut être réécrit comme :
1/1x2x3 = 1/2 - 1/3
En appliquant cette décomposition à tous les termes de la série, on obtient :
1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... = (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ...
Convergence de la série
On remarque que dans la nouvelle forme de la série, de nombreux termes s'annulent. Les termes négatifs de chaque fraction s'annulent avec les termes positifs des fractions suivantes. Cette annulation systématique est un indice important car elle indique que la série converge.
En effet, la somme de la série est égale à la limite de la somme partielle lorsque le nombre de termes tend vers l'infini.
Dans ce cas, seule la première fraction (1/2) reste, car tous les autres termes s'annulent. Par conséquent, la somme de la série converge vers 1/2.
Conclusion
La série 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... converge vers 1/2. Ce résultat est obtenu grâce à la décomposition en fractions partielles qui permet d'identifier les termes qui s'annulent. Cette découverte illustre la puissance des méthodes de décomposition et d'analyse des séries en mathématiques.