-%E8%AF%81%E6%98%8E.jpeg "1*2+2*3+3*4+...+n(n+1) 证明")
Démonstration de la Formule : 12 + 23 + 3*4 + ... + n(n+1)
La somme des produits des nombres consécutifs, représentée par la formule 12 + 23 + 3*4 + ... + n(n+1), peut être exprimée de manière concise à l'aide d'une formule mathématique. Cette formule est (n(n+1)(n+2))/3.
Démonstration par Récurrence
Nous allons utiliser la méthode de la récurrence pour prouver la formule.
Étape 1: Cas de base
Pour n=1, la formule est vraie car 1(1+1) = 2 et (1(1+1)(1+2))/3 = 2.
Étape 2: Hypothèse inductive
Supposons que la formule soit vraie pour un entier k ≥ 1. C'est-à-dire, supposons que :
12 + 23 + 3*4 + ... + k(k+1) = (k(k+1)(k+2))/3
Étape 3: Étape inductive
Nous devons montrer que la formule est également vraie pour k+1. C'est-à-dire, nous devons montrer que :
12 + 23 + 3*4 + ... + (k+1)(k+2) = ((k+1)(k+2)(k+3))/3
En commençant par le côté gauche de l'équation, nous pouvons utiliser l'hypothèse inductive :
12 + 23 + 3*4 + ... + (k+1)(k+2) = (k(k+1)(k+2))/3 + (k+1)(k+2)
En factorisant (k+1)(k+2), nous obtenons :
= (k+1)(k+2)(k/3 + 1)
= (k+1)(k+2)(k+3)/3
Ceci est le côté droit de l'équation, ce qui prouve que la formule est vraie pour k+1.
Conclusion
Par le principe de la récurrence mathématique, la formule 12 + 23 + 3*4 + ... + n(n+1) = (n(n+1)(n+2))/3 est vraie pour tout entier n ≥ 1.
Applications
Cette formule est utile pour calculer la somme des produits de nombres consécutifs dans diverses applications mathématiques et informatiques. Par exemple, elle peut être utilisée pour calculer la somme des carrés des premiers n nombres naturels, ou pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
En résumé, la formule 12 + 23 + 3*4 + ... + n(n+1) = (n(n+1)(n+2))/3 est une expression concise et utile pour la somme des produits de nombres consécutifs. Sa démonstration par récurrence garantit sa validité pour tout entier n ≥ 1.