%3Dn(n%2B1)(n%2B2)-per-3.jpeg "1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n(n+1)(n+2) Per 3")
La formule de la somme des produits consécutifs : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2) / 3
Introduction
En mathématiques, il est souvent utile de trouver des formules pour calculer des sommes. Une formule particulièrement intéressante est celle qui permet de calculer la somme des produits de nombres consécutifs. Cette formule est :
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2) / 3
Cette formule est valable pour tout entier naturel n. Elle est connue sous le nom de formule de la somme des produits consécutifs.
Démonstration de la formule
Il existe plusieurs façons de démontrer cette formule. Une méthode simple est d'utiliser l'induction mathématique :
Étape 1 : Cas de base
Pour n = 1, la formule est vraie : 1.2 = 1(1+1)(1+2) / 3 = 2.
Étape 2 : Hypothèse inductive
Supposons que la formule soit vraie pour un entier k ≥ 1. C'est-à-dire, supposons que :
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2) / 3
Étape 3 : Étape inductive
Il faut montrer que la formule est également vraie pour k+1. C'est-à-dire, il faut montrer que :
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3) / 3
En utilisant l'hypothèse inductive, nous pouvons écrire :
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2) / 3 + (k+1)(k+2)
En mettant (k+1)(k+2) en facteur, on obtient :
= (k+1)(k+2) [k/3 + 1]
= (k+1)(k+2) (k+3) / 3
Ceci correspond à la formule pour k+1. Par conséquent, la formule est vraie pour tout entier naturel n.
Applications de la formule
La formule de la somme des produits consécutifs a de nombreuses applications en mathématiques et en informatique. Elle peut être utilisée pour calculer la somme des premiers n termes d'une suite arithmétique, pour résoudre des problèmes de combinatoire, et pour simplifier des expressions algébriques.
Conclusion
La formule de la somme des produits consécutifs est un outil puissant qui permet de calculer des sommes complexes de manière simple. La démonstration de cette formule par induction mathématique illustre l'élégance et la puissance de cette méthode de preuve. Cette formule a de nombreuses applications dans divers domaines des mathématiques et de l'informatique.