%5En-x%5E2n%2B1%2F(2n%2B1).jpeg "(-1)^n X^2n+1/(2n+1)")
La Série de Taylor de la Fonction Arcsinus
Introduction
La fonction arcsinus, notée arcsin(x), est la fonction inverse de la fonction sinus. En d'autres termes, si sin(y) = x, alors arcsin(x) = y. La fonction arcsinus est une fonction importante en mathématiques, notamment en calcul et en analyse complexe.
Dans cet article, nous allons étudier la série de Taylor de la fonction arcsinus, qui est une représentation de la fonction comme une somme infinie de termes. Cette série nous permet d'approcher la valeur de la fonction arcsinus pour des valeurs données de x.
La Série de Taylor de la Fonction Arcsinus
La série de Taylor de la fonction arcsinus autour de x = 0 est donnée par :
arcsin(x) = x + (1/2) * x^3/3 + (1/2 * 3/4) * x^5/5 + (1/2 * 3/4 * 5/6) * x^7/7 + ...
Cette série peut être écrite sous une forme plus compacte en utilisant la notation de sommation :
arcsin(x) = Σ_(n=0)^∞ ((2n)! / (4^n * (n!)^2 * (2n+1))) * x^(2n+1)
Démonstration
Pour démontrer cette formule, nous pouvons utiliser la formule de Taylor :
f(x) = f(a) + f'(a) * (x-a)/1! + f''(a) * (x-a)^2/2! + ...
où f(x) est une fonction infiniment dérivable et a est un point de l'intervalle de convergence.
En prenant f(x) = arcsin(x) et a = 0, nous obtenons :
arcsin(x) = arcsin(0) + arcsin'(0) * x/1! + arcsin''(0) * x^2/2! + ...
Nous savons que arcsin(0) = 0 et que arcsin'(x) = 1 / √(1 - x^2). En dérivant cette dernière expression, nous trouvons arcsin''(x) = x / (1 - x^2)^(3/2). En continuant à dériver, nous obtenons les dérivées successives de arcsin(x).
En évaluant ces dérivées à x = 0, nous obtenons :
arcsin'(0) = 1
arcsin''(0) = 0
arcsin'''(0) = 1
arcsin''''(0) = 0
arcsin'''''(0) = 3
En substituant ces valeurs dans la formule de Taylor, nous obtenons la série de Taylor de la fonction arcsinus :
arcsin(x) = x + (1/2) * x^3/3 + (1/2 * 3/4) * x^5/5 + (1/2 * 3/4 * 5/6) * x^7/7 + ...
Conclusion
La série de Taylor de la fonction arcsinus nous fournit une manière de représenter cette fonction comme une somme infinie de termes. Cette représentation est particulièrement utile pour approcher la valeur de la fonction arcsinus pour des valeurs données de x. La série converge pour |x| < 1, ce qui signifie que la formule est valide pour les valeurs de x dans cet intervalle.