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Analyse de la fonction (2x+1)/(x-1)
Introduction
Cet article se concentre sur l'analyse de la fonction (2x+1)/(x-1). Nous allons examiner ses propriétés clés, telles que le domaine, les asymptotes, les points critiques et les points d'inflexion. En utilisant ces informations, nous pouvons créer un graphique précis de la fonction.
Domaine
Le domaine de la fonction (2x+1)/(x-1) est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de x=1. La valeur x=1 rend le dénominateur égal à zéro, ce qui rendrait la fonction indéfinie.
Asymptotes
Asymptote verticale: Il existe une asymptote verticale en x=1 car la fonction approche l'infini lorsque x se rapproche de 1.
Asymptote horizontale: La fonction a une asymptote horizontale en y=2. Cela peut être déterminé en observant que le degré du numérateur et du dénominateur sont les mêmes (degré 1). Le rapport des coefficients principaux est 2/1, qui donne l'asymptote horizontale y=2.
Points critiques
Pour trouver les points critiques, nous devons trouver les points où la dérivée de la fonction est égale à zéro ou indéfinie.
La dérivée de (2x+1)/(x-1) est:
f'(x) = -3/(x-1)^2
La dérivée n'est jamais égale à zéro, mais elle est indéfinie en x=1. Cependant, comme x=1 n'est pas dans le domaine de la fonction originale, il n'y a pas de points critiques.
Points d'inflexion
Pour trouver les points d'inflexion, nous devons trouver les points où la dérivée seconde de la fonction est égale à zéro ou indéfinie.
La dérivée seconde de (2x+1)/(x-1) est:
f''(x) = 6/(x-1)^3
La dérivée seconde n'est jamais égale à zéro, mais elle est indéfinie en x=1. De nouveau, x=1 n'est pas dans le domaine de la fonction originale, donc il n'y a pas de points d'inflexion.
Conclusion
En résumé, la fonction (2x+1)/(x-1) possède les caractéristiques suivantes:
- Domaine: Tous les nombres réels sauf x=1
- Asymptote verticale: x=1
- Asymptote horizontale: y=2
- Points critiques: Aucun
- Points d'inflexion: Aucun
Ces informations nous permettent de tracer la fonction avec précision. La fonction est croissante sur tout son domaine et elle ne possède aucun point extrême. Elle a une asymptote verticale en x=1 et une asymptote horizontale en y=2.
Note: Il est important de noter que cette analyse est basée sur les propriétés algébriques et géométriques de la fonction (2x+1)/(x-1). Pour une analyse plus complète, des outils de calcul et de graphiques peuvent être utilisés.