(2x+y+1)dx+(4x+2y-1)dy=0

3 min read Jun 01, 2024

Résoudre l'équation différentielle (2x+y+1)dx + (4x+2y-1)dy = 0

Introduction

Cette équation différentielle est une équation différentielle exacte. Pour la résoudre, nous devons trouver une fonction potentielle Φ(x,y) telle que :

∂Φ/∂x = (2x+y+1)
∂Φ/∂y = (4x+2y-1)

Trouver la fonction potentielle Φ(x,y)

Intégration par rapport à x:

Intégrons la première équation par rapport à x en considérant y comme une constante :

Φ(x,y) = ∫(2x+y+1)dx = x² + xy + x + g(y)

Où g(y) est une fonction arbitraire de y.
Différenciation par rapport à y:

Différencions Φ(x,y) par rapport à y:

∂Φ/∂y = x + g'(y)
Égalisation avec la deuxième équation:

Comparons ce résultat avec la deuxième équation donnée :

x + g'(y) = 4x + 2y - 1

Donc, g'(y) = 3x + 2y - 1
Intégration par rapport à y:

Intégrons g'(y) par rapport à y:

g(y) = ∫(3x + 2y - 1)dy = 3xy + y² - y + C

Où C est une constante d'intégration.
Fonction potentielle finale:

La fonction potentielle finale est donc :

Φ(x,y) = x² + xy + x + 3xy + y² - y + C = x² + 4xy + y² + x - y + C

Solution générale de l'équation différentielle

La solution générale de l'équation différentielle est donnée par l'équation :

Φ(x,y) = C'

où C' est une constante arbitraire.

En substituant Φ(x,y) par sa valeur, nous obtenons :

x² + 4xy + y² + x - y = C'

Conclusion

Nous avons réussi à résoudre l'équation différentielle (2x+y+1)dx + (4x+2y-1)dy = 0 en trouvant une fonction potentielle et en utilisant sa relation avec la solution générale. La solution générale de l'équation est x² + 4xy + y² + x - y = C'.