(a%5E2-a%2B1)(a%5E4-a%5E2%2B1).jpeg "(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1)")
Factorisation d'une expression algébrique complexe : (a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1)
Cet article explore la factorisation de l'expression algébrique complexe (a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1). Nous allons découvrir comment simplifier cette expression en utilisant des identités remarquables et des manipulations algébriques.
Décomposition en facteurs
Tout d'abord, observons que les deux premiers facteurs de l'expression, (a^2+a+1) et (a^2-a+1), ressemblent à la formule de la somme et de la différence de deux carrés :
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Cependant, ils ne correspondent pas exactement à cette formule. Pour les faire correspondre, nous allons introduire un terme supplémentaire dans chaque facteur :
a^2 + a + 1 = (a^2 + a + 1/4) + 3/4 = (a + 1/2)^2 + 3/4 a^2 - a + 1 = (a^2 - a + 1/4) + 3/4 = (a - 1/2)^2 + 3/4
Maintenant, nous pouvons appliquer la formule de la somme et de la différence de deux carrés :
(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) = [(a + 1/2)^2 + 3/4][(a - 1/2)^2 + 3/4] (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) = [(a + 1/2)^2 - (a - 1/2)^2] + (3/4)^2 (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1/2 + a - 1/2)(a + 1/2 - a + 1/2) + 9/16 (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) = (2a)(1) + 9/16 (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) = 2a + 9/16
Ensuite, examinons le troisième facteur (a^4-a^2+1). Nous pouvons le réécrire en utilisant la formule du carré d'une somme :
(a^4-a^2+1) = (a^4 - 2a^2 + 1) + a^2 = (a^2 - 1)^2 + a^2
En utilisant la formule de la somme et de la différence de deux carrés, on peut factoriser davantage :
(a^4-a^2+1) = [(a^2 - 1) + a][(a^2 - 1) - a] = (a^2 + a - 1)(a^2 - a - 1)
Maintenant, nous pouvons combiner les résultats pour factoriser l'expression complète :
(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1) = (2a + 9/16)(a^2 + a - 1)(a^2 - a - 1)
Conclusion
L'expression (a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1) peut être factorisée en (2a + 9/16)(a^2 + a - 1)(a^2 - a - 1). Ce résultat est obtenu en utilisant des identités remarquables et des manipulations algébriques. La factorisation permet de simplifier l'expression et de la manipuler plus facilement dans d'autres contextes mathématiques.