%5E2%2B(cosa%2Bseca)%5E2%3D7%2Btan%5E2a%2Bcot%5E2a.jpeg "(sina+coseca)^2+(cosa+seca)^2=7+tan^2a+cot^2a")
Démonstration de l'identité trigonométrique : (sin a + cosec a)² + (cos a + sec a)² = 7 + tan² a + cot² a
Introduction
Dans le monde des mathématiques, les identités trigonométriques jouent un rôle crucial. Elles nous permettent de simplifier des expressions complexes et d'établir des relations entre différentes fonctions trigonométriques.
L'une de ces identités, que nous allons démontrer dans cet article, est :
(sin a + cosec a)² + (cos a + sec a)² = 7 + tan² a + cot² a
Démonstration étape par étape
- Développer les carrés:
Commençons par développer les termes à gauche de l'équation. En utilisant la formule (a + b)² = a² + 2ab + b², on obtient :
(sin a + cosec a)² = sin² a + 2 * sin a * cosec a + cosec² a (cos a + sec a)² = cos² a + 2 * cos a * sec a + sec² a
- Simplifier les termes :
En utilisant les identités suivantes :
- cosec a = 1/sin a
- sec a = 1/cos a
On peut simplifier l'expression comme suit :
sin² a + 2 * sin a * cosec a + cosec² a = sin² a + 2 + 1/sin² a cos² a + 2 * cos a * sec a + sec² a = cos² a + 2 + 1/cos² a
- Combiner les termes :
En combinant les deux expressions, on obtient :
sin² a + 2 + 1/sin² a + cos² a + 2 + 1/cos² a
- Utiliser l'identité sin² a + cos² a = 1 :
En remplaçant sin² a + cos² a par 1, l'expression devient :
1 + 2 + 1/sin² a + 1 + 2 + 1/cos² a
- Simplifier et réorganiser :
En simplifiant et en réorganisant les termes, on arrive à :
7 + 1/sin² a + 1/cos² a
- Utiliser les identités tan² a = sin² a / cos² a et cot² a = cos² a / sin² a :
En remplaçant 1/sin² a par cot² a et 1/cos² a par tan² a, on obtient :
7 + tan² a + cot² a
- Conclusion :
Nous avons démontré que (sin a + cosec a)² + (cos a + sec a)² est égal à 7 + tan² a + cot² a.
Conclusion
Cette démonstration illustre l'importance des identités trigonométriques dans la simplification des expressions et l'établissement de relations entre les fonctions trigonométriques. La compréhension de ces identités est essentielle pour résoudre des problèmes mathématiques complexes et pour explorer le monde fascinant de la trigonométrie.